| Hej

| Czy ktoś mógłby mi podać dowód któregoś ze wzorów na pole trójkąta?

Oryginalny dowod wzoru P = 1/2 * a * h (1) dla trojkata ostrokatnego,
gdzie przez a oznaczamy dlugosc podstawy a przez h wysokosc trojkata.

Rozwazmy trojkat ograniczony wykresami funkcji f(x) = ax + h
i g(x) = mx + h, gdzie h oczywiscie jest wysokoscia trojkata.
Niech wysokosc ta dzieli podstawe trojkata na dwie czesci

Wowczas mamy trojkat o wierzcholkach A = (-a1,  0), B = (a2, 0), C = (0, h).


(ciach...)

Zauwazmy, ze pole rozwazanego trojkata jest suma pol:
 Â a) pod wykresem funkcji f(x) ograniczonej osia OX
 Â     oraz prostymi x=-a1 i x = 0
 Â b) pod wykresem funkcji g(x) ograniczonej osia OX
 Â    oraz prostymi x=a2 i x = 0
Dodatkowo, pole a) jest rowne polu pod wykresem funkcji f1(x) = bx + h,
gdzie b = -a i takie bedziemy rozwazac.

W konsekwencji pole rozwazanego trojkata bedzie sie wyrazac wzorem:

P = (${0, a1} f1(x)dx) + (${0, a2} g(x)dx),


(ciach...)

O Boze, calki do liczenia pola trojkata. Najlatwiej (i elementarnie) jest
po prostu narysowac prosta prostopadla do wysokosci przecinajaca ja
w polowie (ta prosta i wysokosc dziela trojkat na cztery czesci, z ktorych
mozemy zlozyc prostokat o jednym boku rownym podstawie, a drugim polowie
wysokosci i juz). Oczywiscie przyjmujemy znajomosc pola prostokata.

Kasia Jachim

Hej

Czy ktoś mógłby mi podać dowód któregoś ze wzorów na pole
trójkąta?

Z góry dzięki


hmmm,
wzorow jest wiele....
idac od najprostszego: P=a*h/2 , wystarczy, ze narysujesz
czworokat, o bokach a oraz h, z podobienstwa latwo widac, ze pole
trojkata to polowa pola czowokata
P=p*r, ten wzor tez jest prosty do udowodnienia. Narysuj trojkat,
wpisz w niego okrag. Widac, ze pole trojkata to suma trzech
trojkatow, ktorych wysokosciami sa r. jak wszystko pododajesz,
ladnie wyjdzie

reszte znajdziesz w necie... pozdrawiam

O Boze, calki do liczenia pola trojkata. Najlatwiej (i elementarnie)
jest


No ale moze chodziło o nieelementarnie...
Jesli tak, to są ciekawsze sposoby
(wzór Greena np.).

drugim polowie wysokosci i juz). Oczywiscie przyjmujemy znajomosc
pola prostokata.


A to jest znowu takie oczywiste :)?

Mam prośbę. Właśnie usiłuję siostrze wytłumaczyć pracę domową i e... no
niby
ją zrobiłem, ale założę się, że jest prostszy sposób.
Treść zadania:
 dany jest czworokąt foremny, długość boku a=10. Obliczyć pole powierzchni
oraz objętość.


Czyli: oblicz objętość kwadratu o boku 10? :)

 No dobra, pole to nie problem, liczymy sobie wysokość trójkąta
równobocznego albo korzystamy ze wzoru na takiego powierzchnię, mnożymy
przez cztery i jest piękne pole.


Czworościan? Zrób obrazek, narysuj wysokość,
V=1/3 Pp*H

 Z objętością gorzej ale też idzie sobie poradzić. 10 do kwadratu - Połowa
wysokość do kwadratu = wysokość czworokąta do kwadratu. Pierwiastek, mamy
wysokość, liczymy.
Ale tak sobie pomyślałem, czy nie ma na to jakichś wzorów? Wzoru na pole
powierzchni i na objętość?


Jak nie ma?
Jeden standardowy: V=(1/3) Pp*H - dowolny ostrosłup.

TIA
PS: pisałem to wszystko, żeby nie było, że nie mogę pracy rozwiązać ;) ot,
myślę czy da się łatwiej :D


ee :)

Mam prośbę. Właśnie usiłuję siostrze wytłumaczyć pracę domową i e... no niby
ją zrobiłem, ale założę się, że jest prostszy sposób.
Treść zadania:
 dany jest czworokąt foremny, długość boku a=10. Obliczyć pole powierzchni
oraz objętość.
 No dobra, pole to nie problem, liczymy sobie wysokość trójkąta
równobocznego albo korzystamy ze wzoru na takiego powierzchnię, mnożymy
przez cztery i jest piękne pole.
 Z objętością gorzej ale też idzie sobie poradzić. 10 do kwadratu - Połowa
wysokość do kwadratu = wysokość czworokąta do kwadratu. Pierwiastek, mamy
wysokość, liczymy.

Ale tak sobie pomyślałem, czy nie ma na to jakichś wzorów? Wzoru na pole
powierzchni i na objętość?

TIA

PS: pisałem to wszystko, żeby nie było, że nie mogę pracy rozwiązać ;) ot,
myślę czy da się łatwiej :D

p.Łukasz

 Odpowiedzi nie mam, niestety... A do wszystkich tych, ktorzy mnie do
myslenia zachecali: ja sie naprawde staralem. Piec razy probowalem i
za kazdym razem zatrzymywalem sie w tym samym miejscu. Zeby nie byc
goloslownym:


oki:) ja to zrobiłam tak:

skoro podstawą jest kwadrat, to przyjmując długosc jego krawedzi jako a, to pole
podstawy ostrosłupa wynosi a^2

stosunek pola przekroju do pola podstawy ostrosłupa wynosi pierwiastek z 3
pp:ppo= sqrt3
pp:a^2= sqrt3
pp=a^2sqrt3

przekrój tego ostrosłupa to trójkat równoboczny, którego podstawa wynosi a*sqrt2
wiec obliczam ze wzoru na pole trójkata
pp=1/2a*h
h=pp:1/2a
h=a^2*sqrt3:a*sqrt2
h=a*sqrt6/2

mam juz wysokość trójkata (również ostrosłupa) i podstawe tego trójkata i żeby
obliczyc cosinus kata nachylenia krawędzi bocznej(czyli jednego z dwóch ramion
trójkata) ostrosłupa do płaszczyzny podstawy, musze obliczyc długość tej krawedzi(b)
wiec z twierdzenia pitagorasa:
b^2=(a*sqrt2/2)^2 + h^2
b^2=2a^2/4 + 6a^2/4
b^2=2a^2
b=a*sqrt2

cosinus to stosunek połowy przekatnej podstawy do b, czyli
cos=(a*sqrt2/2):(a*sqrt2)
cos=1/2
czyli cosinus wynosi 60stopni:)

nie wiem czy sie gdzies nie pomyliłam przy zapisywaniu tymi znaczkami, ale
wyszło mi to samo, co przy liczeniu n kartce, wiec mam nadzieje, ze nie;)

Mi sie wydaje, ze tak to trzeba zrobic, jesli cos nie tak, to prosze, poprawcie:)

Zbior Z zawarty w <0,1; jednowymiarowa miara Lebesgue'a
zbioru Z to 0, a Zo zawarte w R^2 jest suma odcinkow
o koncach (0,1) i (x,0) gdzie x nalezy do Z.

Czy Zo jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue'a?
Jaka jest jego dwuwymiarowa miara Lebesgue'a?


Twoj zbior jest (uogolnionym) trojkatem, o wysokosci  h=1.

Pokaz ogolnie, ze gdy  Z  jest mierzalne,
o jednowymiarowej mierze  m(Z),  to dwuwymiarowa
miara  M(Zo)  wynosi:

      M(Zo) = (h*m(Z))/2 = m(Z)/2

(zgodnie ze wzorem na pole trojkata;
Twoim wypadku dostaniesz wiec 0).

Powodzenia,

    Wlodek

Geometria:
1) W trójkąt o wysokościach spelniających związek: h_1:h_2:h_3 = 2:3:4
jest wpisany okrąg o promieniu 10. Nalezy znaleLc kąty tego trójkąta i
jeden z jego boków.


Szkic: calosci nie chcialomi sie wklepywac. pozatym plain tekst to profonacja, a
texa, ani tym bardziej Mathematici odpalac mnie sie nie chce :)

z wzoru na pole p=1/2.a.h_1=1/2.b.h_2=1/2.c.h_1 obliczamy stosunek
a:b:c = 6:4:3. przyjmijmy wiec : a = 6x; b = 4x; c = 3x;
korzystajac ze wzoru cosinusow jestesmy w stanie wyliczyc juz
cosinusy odpowiednich kontow, gdyz x^2 zawsze != 0 i mozemy rownania podzielic
stronami. liczac pole ze wzoru P = pr i podstawaiajc za a, b, c mamy i P = 65x.
mozemy teraz zapisac wzor sinusow: a/sin(alfa)=b/sin(eta)=c/sin(gamma)=2R. Ze
wzoru abc/4R = P -2R = abc/2P = 72x^3/130x = 72x^2/130. Mozemy teraz zapisac
rownianie 6x/sin(alfa)=72x^2/130 <=6/sin(alfa)=72x/130. sin(alfa) znajac cos
(alfa) liczymy z jedynki trygonometrycznej (przy uwzglednieniu tego, ze alfa jest
katem trojkata). ostatczenie liczymy dowolny z bokow, na przyklad a=6x. mamy wiec
okreslone katy przez ich cosinusy, oraz bok a.

Algebra:
1) Dany jest trójkąt opisany na okregu o promieniu r. l,m,n są odcinkami
wierzcholków trójkąta od środka okregu. l=1, m=1/2, n=1/3
Oblicz r


Z tym mam problem. Moze ty juz cos wymysliles?

        pozdr. Marcin Daczkowski

Siedze mysle kombinuje i nic. Czy moglby mi ktos udzielic wskazowki z czego
wyprowadzic funkcje do zbadania?
tresc: Jaka powinna byc dlugosc podstawy trojkata rownoramiennego o danym
polu S, aby promien okregu wpisanego w ten trojkat byl najwiekszy? Jaki
wtedy bedzie kat przy wierzcholku trojkata.
Wyszedlem z zaleznosc na trojkaty podobne powstale po wpisaniu okregu.
Kombinowalem tez z wzorem na pole tr. z wpisaneym okregiem, pitagora no nie
wiem jak to zrobic. Doszedlem w koncu do postaci z S, r, ale caly czas nie
umiem pozbyc sie a (ktore na dodatek zostalo mi w 4 i 3 potedze). Dzieki za
wszelkie sugestie.

---
Elmo


Można postawić inne pytanie: jaką miarę powinien mieć kąt przy wirzchołku?

Oznacz kąt przy wierzchołku 2x i poprowadź wysokość h do ramienia b

h=bsin2x   S= 1/2 (bh)   S= 1/2(b^2*sin2x) z tego wyliczasz b

(1/2 a):b=sinx   a=2bsinx

wstawiasz a i b do wzoru na pole  S=1/2(a+2b)r

i wyznaczasz r(x)

liczysz pochodną i przyrównujesz do zera

jeśli się nie pomyliłam powinno być tak

-2(sinx)^2-sinx+1=0

Powinien wyjść trójkąt równoboczny

Pozdrowienia.   Wika

---------------
Elmo

H = sqrt(15)/4 *a


To można chyba policzyć z Pitagorasa. Przecież bok tego ostrosłupa to
trójkąt równoramienny, a wysokość podzieli go na tr. prostokątne o bokach
1/2a, 2a, H

Mam pytanie. Jak mozna udowodnic, ze nie istnieje trojkat o wysokosciach
dlugosci 1, 2, 3.

Z gory dzieki za wskazowki.
Magda

Moze układ równań:


P=1/2*a*1
P=1/2*b*2
P=1/2*c*3
P^2=t*(t-a)*(t-b)*(t-c)
t=(a+b+c)/2
(dwie ostatnie linijki to wzór Herona na pole trójkąta)

Kuba

W prawidlowym ostroslupie trojkatnym krawedz boczna jest dwa razy dluzsza
od
krawedzi podstawy. Oblicz cosinus kata utworzonego przez dwie sasiednie
sciany boczne.


Kr. podst = a
Kr. boczna = 2a

Kat pomiedzy scianami jest to kat pomiedzy wysokosciami (H) trojkatow
ktorymi sa te
sciany = Q (ten kat)

Wzor na pole sciany to
P = 1/2 * (2a) * H
I z Herona
P = sqrt(5/2 * a * (5/2a -a)(5/2a - 2a)^2)

Porownujemy i otrzymujemy:

H = sqrt(15)/4 *a

Podstawiamy do wz. cosin.

a^2 = 2(sqrt(15)/4 *a)^2 - 2(sqrt(15)/4 *a)^2 cos(Q)

po przekszt:

cos(Q)= 7/15

Moze byc ??????

jezeli bez wysokosci to 0

|
| Marcin

|
|
|
|
|
|

To może będzie jakiś bardziej ogólny wzór?
Coś jak dla trójkąta równobocznego (Pp) (a^2*Pierw(3))/4.


A myslisz skad wzial sie ten wzor ? (bo pole to a^2, no ale trojkąta, to musi
byc jakas trójka..., no ale ze nie do konca, wiec bedzie pierwiastek, a zeby
bylo smieszniej jeszcze przez 4 ?)

wzor pochodzi stad, ze w trojkacie rownobocznym h=a*piew*(3)/2
a poniewaz pole
P = 1/2 * a * h
wiec otrzymujemy
a^2*Pierw(3))/4

Powiedzmy, że tu nie dzielę przez cztery - no i mam wzór
na Pp takiego ostrosłupa (czy też w tym przypadku czworościanu, na jedno
wychodz). Teraz kwestią jest wzór na objętość bez szukania wysokości :D


Ta sama metoda wyprowadzic mozna wzor na H, podstawic do ogolnego i ostatecznie
dostajemy
V = a^3*pierw(2)/12
... no a tu o wysokosci juz mozna zapomniec :)

Neino

Witam
Chcę obliczyć pole dosyć dużego obszarowo trójkąta.
Mam możliwość zmierzenia tylko długości jego boków.
Czy jest wzór na obliczanie pola dowolnego trójkąta znając
tylko długości jego boków?
Nie ma możliwości zmierzenia wysokości od którejkolwiek
podstawy do naprzeciwległego wierzchołka.


Tak dla jaj pytasz, czy jak? Chodzi o płaski trójkąt czy sferyczny?
Bo z płaskim to pamiętam... :)

Najpierw wyliczasz połowę obwodu ze wzoru Herona (p = suma boków przez
dwa).
Potem lecisz ze wzoru pole = pierwiastek[p(p-a)(p-b)(p-c)]. Ot cała
filozofia.
Albo możesz polecieć jeszcze 1/4*pierwiastek{[(a+b)^2-c^2]*[c^2-(a-b)^2]} i
jak nie popieprzyłem nawiasów to będzie dopsz... :)

Pewnie tych wzorów pałęta się w sieci od groma, więc podejrzewam
prowokację. :)

wydaje mi sie ze wprost sie tego nie da wyliczyc. We wzorze na A (18),
szukanym parametrem jest h a jest on pod cos-1.
Nie orientuje sie ktos jak numerycznie wyszukac rozwiazanie tego
rownania??
Pewnie trzeba bedzie zalozyc jakies h i eps jako dokladlosc obliczen,
tylko jak to przeszukiwanie rozpisac mozliwie prosto?


A mi sie wydaje, ze myslenie ma przyszlosc.
Zatem spojrz na ten obrazek z podanego linka. I co widzisz? Bo ja widze:
-wycinek kola- na ktorego pole mamy wzor (zgadza sie?)
-obszar- w twoim przypadku poprzeczny przekroj zalanej czesci kanalu
-trojkat rownoramienny o wysokosci rownej d (na tym rysunku)

Zauwazyc nalezy, ze pole obszaru jest rowne pole wycinka minus pole
trojkata. Dodatkowo R=h+d.
Dalej juz proste?
Jak nie to napisz bardziej szczegolowo, jakie sa dane wejsciowe i jakie
maja byc wyjsciowe, a sie zastanowimy.
Powodzenia w kombinowaniu.

 nie potrafię znaleźć wzoru na
obliczenie pola powierzchni wycinka koła ograniczonego cięciwą.
..
Znam tylko promień koła i długość cięciwy.


no to klops. Długość cięciwy na 'dole' koła jest równa zero. Potem
rośnie do 2R (w środku koła) a dalej znów malej do zera. Czyli mamy dwie
identyczne wartości cieciwy a pola .. różne. Tak sformułowany problem
nie ma rozwiązania.

W ogóle to sprawa jest banalna. Muszę policzyć ile cieczy zmieści się w
leżącym walcu i napełnionym do pewnej wysokości.


To jest zupełnie inny problem!. Nie długość cięciwy tylko wysokość, na
której jest ta cięciwa.

Szkic rozwiązania dał ci już Marcin ( należy jedynie uwzględnić, że dana
jest wysokość a nie cięciwa).
Powiem tylko,że ten kąt,na których opierają sie twoje promienie oblicza
sie tak alfa = 2*arccos(1-h/R)
Potem już tylko pole wycinka koła ( ale trudne ;) ) minus pole trójkąta
równoramiennego.

Mam nadzieję że sam dokończysz. Na wszelki wypadek podam ci wynik końcowy
Twoje Pole = R^2 ( (s-1) * sqrt( s*(2-s)) + arccos(1-s)
gdzie s = h/R

Witam.
Bardzo proszę o pomoc.
Goooglam od dwoch dni (pewnie słabo), ale nie potrafię znaleźć wzoru na
obliczenie pola powierzchni wycinka koła ograniczonego cięciwą. Wszystko
co znalazłem to wzrór na pole wycinka koła o promieniu r i kącie
środkowym alfa. Niestety nie znam i nie poznam kąta zawartego między
promieniami. Znam tylko promień koła i długość cięciwy.
W ogóle to sprawa jest banalna. Muszę policzyć ile cieczy zmieści się w
leżącym walcu i napełnionym do pewnej wysokości.


Masz jakiś zakaz używania tego kąta, czy jak?

Niech alpha będzie kątem między promieniami. Jeżeli znasz długość
cięciwy d, to obliczasz sinus (alpha/2) = d/2r. Z jedynki
trygonometrycznej obliczasz cos (alpha/2), następnie sin(alpha)=
2sin(alpha/2)cos(alpha/2). Pole trójkąta utworzonego przez promienie
i cięciwę to (1/2)*r^2sin(alpha). Potem bierzesz pole wycinka i
odejmujesz ten trójkąt.

Ale pewnie jest jakiś prostszy wzór...

Pzdr,
M.

odejmojemujemy stronami otrzymujac:
4xa=d1^2-d2^2


A no wlasnie!!!

w trojkacie adf:
tg&=h/x =x=h/tg&

obliczone x podstawiamy do wzoru:
4ah/tg&=d1^2-d2^2 (a to juz prawie wzor na pole)

Odp. Pole (ah)=(d1^2-d2^2)*tg&/4


DZIEKI Wam wszystkim!
Po prostu nie moglem wpasc na to odjecie stronami, co rozwiazuje problem.

Pozdrawiam

Adam Michalski, 17 lat

Piotr


Zupelnie elementarne jest to, ze wystarczy taki wzor udowodnic dla
czworoscianow (ostroslupow o podstawie trojkatnej) - kazdy ostroslup
mozna rozbic na sume czworoscianow, dzielac podstawe na trojkaty.

Jesli znany jest elementarny dowod twierdzenia o objetosci obrazu
bryly przez powinowactwo osiowe, to wystarczy udowodnic wzor dla
jednego czworoscianu (powinowactwo osiowe z osia A, plaszczyzna
punktow stalych B i skala x przeksztalca punkt P na punkt P' taki, ze
prosta PP' jest rownolegla do osi A, przecina plaszczyzne B w punkcie
P" i |P"P'| = |a|*|P"P| przy czym znak a zwiazany jest z wyborem, po
ktorej stronie ma byc P'; twierdzenie mowi, ze objetosc obrazu bryly
jest rowna |a| razy objetosc bryly).

W szescianie o boku 2 ze srodka prowadzimy odcinki do srodkow scian,
srodkow krawedzi i do wierzcholkow. Widac w tym rozbicie tego
szescianu na 48 przystajacych czworoscianow o wysokosci 1 i polu
podstawy 1/2. Zatem objetosc takiego czworoscianu jest rowna 8/48 =
1/6 = (1/3)*(1/2)*1.

Z powazaniem
Marek Szyjewski

                 My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem!

skorzystaj z tw. Pitagorasa, aby wyznaczya wysoko?a trapezu
(uk3ad 2 równan do rozwi?zania). A obliczenia to wykonaj sam ...


Albo narysuj sobie trapez i przesun jedno z jego ramion rownolegle
do podstawy, tak by jeden z koncow pokryl sie z odpowiednim
koncem drugiego ramienia.
Uzyskujesz trojkat, a dlugosci jego bokow latwo policzyc z dlugosci
bokow trapezu.
Z dlugosci bokow mozna policzyc jego pole posilkujac sie wzorem Herona.
Majac pole i bok trojkata mozna z kolei policzyc jego wysokosc
- rowna wysokosci trapezu.
A majac dane podstawy trapezu i policzona jego wysokosc latwo juz
policzyc szukane pole trapezu.

Maciek

S = pr

gdzie p to połowa obwodu trójkąta, r to promień okręgu
wpisanego a S to pole. U nas p = 1/2 a + b, gdzie a to
podstawa, więc mamy jedno równanie z dwoma niewiadomymi
i parametrem r. Drugie równanie - coś z wysokością
i twierdzeniem Pitagorasa, dochodzi trzecia niewiadoma h.
Trzecie równanie - podobieństwo tych tam trójkątów
co się w środku porysują... może być?

Pozdrawiam

Paweł Gładki

Hej

Czy ktoś mógłby mi podać dowód któregoś ze wzorów na pole trójkąta?


Oryginalny dowod wzoru P = 1/2 * a * h (1) dla trojkata ostrokatnego,
gdzie przez a oznaczamy dlugosc podstawy a przez h wysokosc trojkata.

Rozwazmy trojkat ograniczony wykresami funkcji f(x) = ax + h
i g(x) = mx + h, gdzie h oczywiscie jest wysokoscia trojkata.
Niech wysokosc ta dzieli podstawe trojkata na dwie czesci

Wowczas mamy trojkat o wierzcholkach A = (-a1,  0), B = (a2, 0), C = (0, h).
Przez Alfa oznaczmy kat przy wierzcholku A
a przez Beta przy wierzcholku B.
Wtedy dla funkcji f wspolczynnik a = tgAlfa (*)
a dla f-cji g wspol. m = tg(Pi-Beta) = -tg(Beta)  (**)
Dodatkowo z podstawowych zaleznosci trygonometrycznych:
tgAlfa = h / a1 (***)
tgBeta = h / a2 (****)

Zauwazmy, ze pole rozwazanego trojkata jest suma pol:
  a) pod wykresem funkcji f(x) ograniczonej osia OX
      oraz prostymi x=-a1 i x = 0
  b) pod wykresem funkcji g(x) ograniczonej osia OX
     oraz prostymi x=a2 i x = 0
Dodatkowo, pole a) jest rowne polu pod wykresem funkcji f1(x) = bx + h,
gdzie b = -a i takie bedziemy rozwazac.

W konsekwencji pole rozwazanego trojkata bedzie sie wyrazac wzorem:

P = (${0, a1} f1(x)dx) + (${0, a2} g(x)dx),

gdzie $ oznacza calke oznaczona, ktorej granice calkowania dolna i gorna
podane sa kolejno w nawiasie klamrowym.

Nastepnie podstawiajac wzory funkcji:

P = (${0,a1} (bx+h)dx) + (${0, a2} (mx+h)dx)

Co po obliczeniu calek daje:

P = 1/2 * b * a1^2 + h * a1 + 1/2 * m * a2^2 + h ^ a2

A po podstawieniu pod b=-a i m zgodnie z (*) i (**):

P = -1/2 * tgAlfa * a1^2 + h * a1 - 1/2 * tgBeta * a2^2 + h * a2

Podstawiajac pod tgAlfa i thBeta zgodnie z (***) i (****)
oraz po skroceniu:

P = -1/2 * h * a1 + h * a1 - 1/2 * h * a2 + h * a2

co po redukcji wyrazow podobnych daje:

P = 1/2 * h * a1 + 1/2 * h * a2

Wylaczamy 1/2 * h przed nawias:

P = 1/2 * h * (a1 + a2)

czyli

P = 1/2 * h * a

Tym samym wykazalismy poprawnosc wzoru (1).

Przydalby sie rysunek, ale nie mialem jak.

AF/FB=m=c/a-1
c/a=m+1

AD/DC=CD/DB=b/a
AD/DB=(b/a)^2

a^2+b^2=c^2
1+(b/a)^2=(c/a)^2
AD/DB=(m+1)^2-1
AD/DB=m(m+2)

3. Czworościan ABCD ma wszystkie krawędzie długości 1. Przecinamy go
płaszczyzną równoległą do AB i CD i dzielącą AC w stosunku x e(0,+inf).
Wyliczyc pole P(x) przekroju czorośc. tą płaszczyzną i zbadać otrzymaną
funkcję (pole)

 (Co to znaczy dzieli w stos. x - czy x to ułamek?)


Że AX/XC=x. X to punkt przecięcia płaszczyzny z odcinkiem AC.

Ta funkcja to pewnie wyjdzie parabola postaci f(x)=-ax(x-1), gdzie a0.

5. Znaleźć długości boków trójk. prostok. opisanego na okręgu r=1,  który
ma największe pole (trójkąt).

 Nie mogę dojść do wzoru na pole tego trojkąta dla 1 zmiennej, żeby  
 wyliczyć pochodną.


Pole takiego trójkąta może być dowolnie duże. Może chodzi o trójkąt
wpisany albo o minimalne pole?

6. Piętnaście dziewcząt rozmieszczono losowo w 5 3-osob. pokojach. Oblicz
P, że 3 określone koleżanki (np. Ania, Kasia, Bożena) znajdą się w jednym
pokoju.


2/14 że K trafi do A i 1/13 że B trafi do tamtych. Razem 1/91.

7. Egzotyczny stół bilardowy to taki, w którym suma kątów padania i odbicia
jest równa 90 stopni. Stołem jest kwadrat ABCD o boku 1. Kula startuje z
punktu P na boku AP, uderza w punkt Q (bok BC), potem R (CD), S (DA) i
wraca do punktu P. |AP| = d, |BQ| =?

 Są dwa przypadki ( PQRS może być kwadratem -AP=BQ, PQRS prostokątem -
 tutaj wysiadam)


1' |BQ| = d
2' |BQ| = 1-d

8. Podstawą ostrosłuba ABCDS jest czworokąt wypukły ABCD. SA=SB=SC=SD, kąt
A=60 stopni, kąt C=?

 Jak udowodnić, że w podstawie jest równoległobok i spodek wysokości leży
 na przecięciu przekątnych?


Nie musi być równoległobok, wystarczy czworokąt wpisywalny w okrąg. W
takim czworokącie suma miar przeciwległych kątów wynosi 180'.

 (uzgrzązłem, udało mi się tylko dowieść, że dla a1 lewa strona 0)

2. Na przyprostokątnej AC trójk. przyprost. ABC wybrano punkt E tak, że EB
jest dwusieczną kąta B. Okrąg, którego średnicą jest EB, przecina
przeciwprostokątną AB w punkcie F. Niech CD będzie wysokością trójkąta
poprowadzoną do przeciwpr. Obliczyć AD:DB wiedząc, że AF:FB=m

3. Czworościan ABCD ma wszystkie krawędzie długości 1. Przecinamy go
płaszczyzną równoległą do AB i CD i dzielącą AC w stosunku x e(0,+inf).
Wyliczyc pole P(x) przekroju czorośc. tą płaszczyzną i zbadać otrzymaną
funkcję (pole)

 (Co to znaczy dzieli w stos. x - czy x to ułamek?)

4. Na okręgu umieszczono 8 różnych punktów. Kreślimy losowo 4 różne odcinki
o końcach w tych pkt. Obliczyć P, że narysujemy czworokąt wypukły.

 Zrobiłem dla założenia, że odcinki kreślimy "bez odrywania ołówka" (koniec

 poprzedniego początkiem następnego). A jak zadanie wygląda dla zupełnie
 dowolnych odcinków?

5. Znaleźć długości boków trójk. prostok. opisanego na okręgu r=1,  który
ma największe pole (trójkąt).

 Nie mogę dojść do wzoru na pole tego trojkąta dla 1 zmiennej, żeby  
 wyliczyć pochodną.

6. Piętnaście dziewcząt rozmieszczono losowo w 5 3-osob. pokojach. Oblicz
P, że 3 określone koleżanki (np. Ania, Kasia, Bożena) znajdą się w jednym
pokoju.

7. Egzotyczny stół bilardowy to taki, w którym suma kątów padania i odbicia
jest równa 90 stopni. Stołem jest kwadrat ABCD o boku 1. Kula startuje z
punktu P na boku AP, uderza w punkt Q (bok BC), potem R (CD), S (DA) i
wraca do punktu P. |AP| = d, |BQ| =?

 Są dwa przypadki ( PQRS może być kwadratem -AP=BQ, PQRS prostokątem -
 tutaj wysiadam)

8. Podstawą ostrosłuba ABCDS jest czworokąt wypukły ABCD. SA=SB=SC=SD, kąt
A=60 stopni, kąt C=?

 Jak udowodnić, że w podstawie jest równoległobok i spodek wysokości leży
 na przecięciu przekątnych?

jelsi idzie o zadanie drugie, to nie bardoz je rozumie, tzn. rozumiem, ale
jest troche bez sera, co z czym dokladnie ma tworzyc te proporcje? no wydaje
mi sie oczywiscie, ze ze wzoru na pole rownolegloboku, ktory idzie latwo
wyprowadzic, da sie dowiesc te proporcje, ale nie wiem, bo nie wiem
dokladnie o jaka proporcje chodzi...

Mam kilka zadan,moze ktos podjemie sie rozwiazania w celu matematycznej
lamiglowki :)

1.Suma katow wewnetrznych wielokata jest funkcja liczby jeog bokow.
Wyprowadz
wzor tej funkcji. Okresl jej dziedzine i zbior wartosci. Dla jakiego
argumentu
wartosc tej funkcji wynosi 1260?

2.Z jednego wierzcholka rownolegloboku poprowadzono dwie rozne wysokosci.
Wykaz,ze te dwie wysokosci i dwa kolejne boki rownolegloboku tworza
proporcje.
Jaki obwod ma rownoleglobok o polu 48 cm2 i wysokosciach: 3cm oraz 8 cm.

Prosze o pomoc -_-

--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl

a - bok (odcinek "ab" i "dc")
f - rzut prostokatny "d" na "a"
g - rzut prostokatny "c" na przedluzenie "a"
x - odcinek "af" i "bg"
h - wysokosc (odcinek "df")
d1 - pierwsza przekatna (odcinek "ac")
d2 - druga przekatna (odcinek "db")
& - kat "bad"

w trojkacie acf z tw. pit.
(a+x)^2+h^2=d1^2
w trojkacie dfb z tw. pit.
(a-x)^2+h^2=d2^2

odejmojemujemy stronami otrzymujac:
4xa=d1^2-d2^2

w trojkacie adf:
tg&=h/x =x=h/tg&

obliczone x podstawiamy do wzoru:
4ah/tg&=d1^2-d2^2 (a to juz prawie wzor na pole)

Odp. Pole (ah)=(d1^2-d2^2)*tg&/4


Witam!

Znow problem, tym razem troche inny:
obliczyc pole rownolegloboku majac dane dlugosci jego przekatnych i kat
ostry.

Zaczynam tak:

& niech bedzie katem ostrym rownolegloboku
przekatne niech beda e i f (e - krotsza)
x niech bedzie katem miedzy przekatnymi
a - dluzszy bok rownolegloboku
b - krotszy bok rownolegloboku
Stad kat miedzy przekatnymi jest x lub 180-x w zaleznosci od tego ktory (bo
sa 4).

P = 2 * [ (e/2) * (f/2) * sinx ] / 2 + 2 * [ (e/2) * (f/2) * sinx ] / 2 =
(efsinx)/2
czyli suma pol 4 trojkacikow na jakie dziela rownoleglobok przekatne.
Dobrze, wiec jedna niewiadoma (sinx) pozostaje.
Dalej mamy:

b^2 = (e/2)^2 + (f/2)^2 - 2cosx * (e/2) * (f/2)
a^2 = (e/2)^2 + (f/2)^2 +2cosx * (e/2) * (f/2)
e^2 = a^2 + b^2 - 2abcos&
No i niby w porzadku (chyba rownania sa dobre), ale co dalej :-))
Po pierwsze policze sobie jedynie cosx (no niby mozna dalej policzyc sinx
ale co ze znakiem...). Poza tym strasznie skomplikowane to wychodzi. Musi
byc jakis prostszy sposob. Moze czegos nie zauwazylem?

Prosze o pomoc

Pozdrawiam

Adam Michalski, 17 lat

Ale was męcze dzisiaj ale nie mam wyjścia ;)


To Ty tak się męczysz przy zadaniach, które można
rozwiązać w wyobraźni.

Mam do was jeszcze jedno pytanie.
Oto zadanie:
Stosunek pola powierzchni kuli wpisanej w stożek do pola podstawy stożka
jest równy 4/3. Obliczyć kąt przy wierzchołku osiowego przekroju stożka


Z tego stosunku możesz wyznaczyć stosunek promieni.
Zakładam, że znasz wzory na te powierzchnie. Ten
stosunek to właśnie tangens połowy kąta przy podstawie.
    Jak nie znasz wzorów na te pola to lepiej najpierw
odrabiaj teorię zanim zabrać się za zadania.

Aha jeszcze jedno. Mógłby ktoś mi pokazać jak wygląda w praktyce zmiana
podstawy logarytmu. No bo jest niby wzór loga(b) = logc(b) / logc(a)  ale
co
oznacza ta podstawa c ??


Jakaś tam. W konkretnym przypadku dla konkretnej potrzeby
dobierzesz ją: 1/2, 10^10, Pi itd.

Co do tematu "stożek" (bez "znowu") to zrób przekrój
przez wysokość, wychodzi trójkąt równoramienny i
okrąg w niego wpisany. Środek kuli leży na wysokości i dzieli
ją na 2 odcinki: jeden = promień kuli, a drugi wyznaczysz
z definicji sinusa (sin(alfa) = ...). Promień podstawy wyznaczysz
z definicji tangensa, lub, jak kto woli, z proporcji znając ten
drugi powyższy odcinek.

ps. Jeśli masz teraz egzamin to proponuję szlifować
   teorię. Za mało czasu zostaje, a nie możesz
   iść wyrąbać lasy kiedy nie wiesz, jakie masz
   narzędzie, i jak nimi się posługiwać.

aga:
| Hmm a masz moze odpowiedz do tego zadania? Bo mi wyszło, ze cosinus wynosi 60
| stopni, ale mi dzisiaj dziwne wyniki wychodzą, wiec nie wiem czy nie
pokreciłam
| czegos;)

 Odpowiedzi nie mam, niestety... A do wszystkich tych, ktorzy mnie do
myslenia zachecali: ja sie naprawde staralem. Piec razy probowalem i
za kazdym razem zatrzymywalem sie w tym samym miejscu. Zeby nie byc
goloslownym:

 w podstawie tego ostroslupa jest kwardat, tak? Wiec jesli zalozymy,
ze bok postawy wynosi a, to ten przekroj bedzie trojkatem o podstawie
a razy pierwiastek z dwoch (ale a nie jest dane) Przy tym zalozeniu,
oraz dodatkowo jesli przyjmiemy, ze wysokosc ostroslupa wynosi H, to
pole tego przekroju wynosi:

 a * (pierwiastek z dwoch) * H
 ----------------------------
 Â             2

 Zgadza sie?

 Dalej:

 Mamy dane, ze stosunek powyzszego pola do pola podstawy (a^2) wynosi
pierwiastek z trzech. A wiec (tu juz krok po kroku ide, zeby sie nie
pogubic ;)):

 a * (pierwiastek z dwoch) * H     (pierwiastek z trzech)
 ----------------------------- =   ----------------------
 Â             2a^2                            1

 Zgadza sie?

 Upraszczajac powyzsze wychodzi nam:

 (pierwiastek z dwoch) * H   (pierwiastek z trzech)
 ------------------------- = ----------------------
 Â             2a                        1

 Mamy tutaj dwie niewiadome: a i H.

 Dodatkowo: wzor na cosinus w tym trojkacie to:

 Â        a * (pierwiastek z dwoch)
 cos(A)= --------------------------
 Â                     b

 gdzie b to krawedz boczna ostroslupa.

 Zgadza sie?

 I teraz za diabla nie wiem co zrobic dalej... W jaki sposob powiazac
ten stosunek przekroju do podstawy z krawedzia boczna? No i jak
obliczyc te dwie niewiadome a i H?

 Ja juz sie do reszty pogubilem. Wiecie, ja NIE JESTEM umysl scisly,
wiec postarajcie sie za bardzo sie nie smiac. ;)

 Ktos mi pomoze?

--
Semprini (usun _ z adresu) GG: 1354806


--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl

Hmm a masz moze odpowiedz do tego zadania? Bo mi wyszło, ze cosinus wynosi 60
stopni, ale mi dzisiaj dziwne wyniki wychodzą, wiec nie wiem czy nie pokreciłam
czegos;)


 Odpowiedzi nie mam, niestety... A do wszystkich tych, ktorzy mnie do
myslenia zachecali: ja sie naprawde staralem. Piec razy probowalem i
za kazdym razem zatrzymywalem sie w tym samym miejscu. Zeby nie byc
goloslownym:

 w podstawie tego ostroslupa jest kwardat, tak? Wiec jesli zalozymy,
ze bok postawy wynosi a, to ten przekroj bedzie trojkatem o podstawie
a razy pierwiastek z dwoch (ale a nie jest dane) Przy tym zalozeniu,
oraz dodatkowo jesli przyjmiemy, ze wysokosc ostroslupa wynosi H, to
pole tego przekroju wynosi:

 a * (pierwiastek z dwoch) * H
 ----------------------------
              2

 Zgadza sie?

 Dalej:

 Mamy dane, ze stosunek powyzszego pola do pola podstawy (a^2) wynosi
pierwiastek z trzech. A wiec (tu juz krok po kroku ide, zeby sie nie
pogubic ;)):

 a * (pierwiastek z dwoch) * H     (pierwiastek z trzech)
 ----------------------------- =   ----------------------
              2a^2                            1

 Zgadza sie?

 Upraszczajac powyzsze wychodzi nam:

 (pierwiastek z dwoch) * H   (pierwiastek z trzech)
 ------------------------- = ----------------------
              2a                        1

 Mamy tutaj dwie niewiadome: a i H.

 Dodatkowo: wzor na cosinus w tym trojkacie to:

         a * (pierwiastek z dwoch)
 cos(A)= --------------------------
                      b

 gdzie b to krawedz boczna ostroslupa.

 Zgadza sie?

 I teraz za diabla nie wiem co zrobic dalej... W jaki sposob powiazac
ten stosunek przekroju do podstawy z krawedzia boczna? No i jak
obliczyc te dwie niewiadome a i H?

 Ja juz sie do reszty pogubilem. Wiecie, ja NIE JESTEM umysl scisly,
wiec postarajcie sie za bardzo sie nie smiac. ;)

 Ktos mi pomoze?

podsumowując, mam trójkąt ABC i punkt P leżący wewnątrz trójkąta
na każdym wierzchołku A, B i C mam daną pewną wartość, jak znaleźć tą
wartość w punkcie P?
(oczywiście wartość zmienia się liniowo, jak w gouraudzie, lub jak w kawałku
 deski leżącej na trzech podstawkach :-) )

Hmmm. To wszystko zalezy od calosci engine'u. Czy wszystko traktujesz jako
face'y,
czy czesc jako face'y, czesc jako obiekty itd.


engine'u nie ma (jest sesja), ale zazwyczaj robię to tak:
wszystkie punkty w tablicy
każdy face ma wskaźnik do 3 puntków
obiekty, z każdym jest tablica (lista?) wskaźników na face

właściwie tu punkty raczej nie będą w tablicy, ale to nie ma znaczenia

Generalnie, jest tak ze pole widzenia
ograniczone dwoma prostymi tworzy twoj kat beta*2. Iloczyn skalarny
liczony miedzy osia Z pola widzenia, a wektorem poprowadzonym od kamery, do dowolnego punktu,
liczy cosinus kata miedzy nimi. Jezeli jest wiekszy od cosinusa beta,
to punkt jest poza polem widzenia. Test mozesz robic na kazdym verex'ie,
lub na zbiorze
vertex'ow zgrupowanych w BOX'ie itd.


na każdym vertexie bez szans (chcę mieć duży teren), na obiekty terenu
nie podzielę, może na strefy? a może zbudować drzewo? masz jakiś pomysł?
załóżmy, że dochodzi jeszcze mgła, a więc widzę wszystko, co znajduje się
pod kątem (-beta,beta) przede mną i w odległości (0,zakres_widzenia),
razem tworzy to wycinek koła albo trójkąt... załóżmy, że wszystkie obiekty
(drzewa, budynki, etc...) przypiszę do faców (w nich umieszczę zapis,
żeby brać pod uwagę obiekty), jedyne co muszę znaleźć to listę faców,
które są wewnątrz tego trójkąta (lub wycinka), jak to zrobić najszybciej?
jeżeli będę miał 10tys, albo 100tys faców, to nie chcę przeglądać wszystkich...

1. Oblicz lim(x-1)[(X^3+x^2-2)/(sin(x-1))]

Mi wyszło 5

2. Naszkicuj wykres

f(x)=sqrt(|sinx|-1)-3

U mnie wyszły punkty postaci (k*pi/2,-3) i keC

3. Przyjmij, że punkt Q jest środkiem ciężkości trójkąta ABC. Wykaż że
AQ+BQ+CQ=0 (AQ,BQ,CQ i 0 to wekory [nie wiem jak to zapisać w ascii)

Skorzystałem ze wzoru na współrzędne środka c. w geometrii analitycznej i
wyszło.

4. Dany jest ostrosłup o równych krawędziach bocznych, w którym podstawą
jest czworokąt ABCD. Wiedząc że kąt CDA ma miarę 30 stopni, podaj miarę
kąta ABC.

Mi wyszło ABC=150 (bo na ABCD można opisać okrąg).

5. Przyjmując że x=(1+1/n)^n, y=(1+1/n)^(n+1) dla pewnego neN{0}
udowodnij równość x^y=y^x

Poprzekształcałem i wyszło.

6. Rozwiązać równanie

[(x^3)/sqrt(4-x^2)]+x^2-4=0

U mnie x=sqrt(2)

7. Trzy liczby rzeczywiste różne od zera tworzą ciąg arytmetyczny, a
kwadraty tych liczb zapisane w tym samym porządku tworzą ciąg
geometryczny. Wyznacz iloraz tego ciągu geometrycznego.

U mnie q=1

8. W trójkącie prostokątnym ABC, o kącie prostym przy wierzchołku C,
obrano punkt P tak, że trójkąty PAB, PBC, PAC mają równe pola. Wyraź w
zależnościod dodatniej liczby m długość odcinka PC, wiedząc, że
|PA|^2+|PB|^2=m^2

Tego nie zrobiłem

9. Znajdź współrzędne wierzchołków prostojkąta o maksymalnym polu, który
znajduje się w I lub w II ćwiartce układu współrzędnych, wiedząc, że jego
dwa boki zawierają się w osiach układu, a jeden z wierzchołków jest
położony na paraboli o równaniu y=4-x^2

Wyszły mi dwa argumenty x=2*sqrt(3)/3 i x=-2*sqrt(3)/3 - czyli prawe lub
lewe dolne wierzchołki.

10. Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości a. Przez środek D
jednego z boków tego trójkąta poprowadzono prostą tworzącą z tym bokiem
kąt ostry o mierze alpha i dzielącą ten trójkąt na dwie figury, których
stosunek pól jest równy 1:7. Wyznacz miarę alpha.

Tu obliczyłem tylko wysokość tego mniejszego trójkąta.

Zadania 1-2 są za 2 pkt, 3-4 za 3, 5-8 za 4 i 9-10 za 5.

Czy te wyniki są dobre? I jeszcze jedno, czy przechodząc do następnego
etapu jestem już finalistą???

Kombinowalem na przyklad tak:

Oznaczenia: b - ramie, a - podstawa, h1- wysokosc na bok b, h2 - wysokosc na
bok a.  Mamy policzyc: h1/a.
Zatem:  h1/b=0,8,   stad b^2= 25/16*(h1)^2     (rownanie 1)

Z tw. Pitagorasa: (h2)^2 + (a/2)^2 = b^2, czyli (h2)^2 =  b^2 - (a/2)^2
(rownanie 2)

Po porownaniu pol z uzyciem obu wysokosci otrzymujemy: h1*b=h2*a, po
podniesieniu rownania do kwadratu wstawiam za (h2)^2 z rownania 2 oraz za
b^2 z rownania 1. Potem dziele obie strony przez a^4 i otrzymuje:

25*(h1/a)^4 - 25*(h1/a)^2 + 4 = 0

Mam zatem szukany stosunek h1/a i po podstawieniu za h1/a pomocniczej
niewiadomej otrzymuje rownanie dwukwadratowe. Jako rozwiazanie wychodzi
jakis okropny wynik tzn. pod pierwiastkiem m. in. drugi pierwiastek, w
kazdym razie liczba niewymiera. Probowalem wyrazenie pod pierwiastkiem
zwinac we wzor skroconego mnozenia, ale sie chyba za bardzo nie da. Czy ten
wynik jest w ogole poprawny, czy moze cos gdzies zle zrobilem?

To zadanie jest w zbiorze dla gizmnazjum jako zadanie z "gwiazdka". Moj
sposob rozwiazania, a szczegolnie postac rownania dwukwadratowego przekracza
material gimnazjum, wiec musi byc jakies inne prostsze rozwiazanie tego
zadania. Dodam jeszcze, ze kombinowalem takze z tw. Talesa, uprzednio
zaznaczajac trapez rownoramienny w tym trojkacie. Takze bez rezultatow...

Bardzo prosze o jakies wskazowki.

Tom

2) Dwa ladunki punktowe o jednakowych wartosciach q znajduja sie we
wzajemnej odleglosci l. Ile wynosi natezenie pola elektrostatycznego
posrodku pomiedzy ladunkami jesli :
a) ladunki sa takich samych znakow
b) ladunki sa przeciwnych znakow


Prawo Coulomba + skladanie wektorow

3) Dany jest promien Ziemi oraz przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni.
Obliczyc srednia gestosc Ziemi.


Prawo powrzeschnego ciazenia + definicja gestosci...

4) Wyprowadzic wzor na okres obiegu satelity poruszajacego sie na wysokosci
h=3R nad powierzchnia Ziemi. Zalozyc ze dane sa R=promien ziemi.


Wzor na sile odsrodkowa, ktora ma sie rownac sile grqawitacji...

5) Jeden z satelitow porusza sie tuz nad powierzchnia ziemi a drugi na h=7R
tez nad powierzchnia Ziemi. Ile wynosi stosunek dlugosci obiegu tych
satelitow.


??? Przeciez to matematyka, nie fizyka.

6) Dwa ladunki punktowe o jednakowych wartosciach znajduja sie w 2
wierzcholkach trojkata rownobocznego o boku a. Jakie jest natezenie pola w 3
wierzcholku jezeli:
a) ladunki sa tych samych znakow
b) ladunki sa przeciwnych znakow


To juz bylo...

7) W 3 wierzcholkach kwadratu o boku a znajduja sie 3 jednakowe ladunki
dodatnie. Ile wynosi natezenie pola w czwartym wierzcholku.


To tez juz bylo... A w zasadzie to to samo co z trojkatem, dlatego mowie, ze
bylo juz.

I blagam: nie boj sie ruszac glowa. Wiem, ze w dzisiejszych czasach sztuka
myslenia odchodzi w zapomnienie, ale moze jednak warto... Adidaski to nie
wszystko.

Teraz szczegóły mojego rozwiązania:

      C &#8211; punkt wspólny płaszczyzn małych kół i osi dużego koła
      A - środek małego koła
      O &#8211; środek dużego koła

1. Z trójkąta prostokątnego AOC   wyliczam:

AC=R/cos(alfa)             ( * )

2. Z trójkąta prostokątnego AOD leżącego w płaszczyźnie dużego koła
wyliczam
odcinek   AD (prostopadły do AO w punkcie A   )     :

       AD=AO*tg(Pi/n) = R*tg(Pi/n)          (**)  

       (AD jest połówką boku n-kąta foremnego opisanego na kole R)    
       (AD leży na przecięciu płaszczyzn małego i dużego koła)

      3.Pytałeś o trójkąt w płaszczyźnie małego koła , oto on:  CAD

   Zauważ, że odcinek CD jest styczny do małego koła, czyli wysokość
tego  
trójkata wynosi r   .
   Bok CD = sqrt(AC^2+AD^2)            (***)

4.Z równości pól wyliczonych dwiema metodami dla trójkąta CAD mamy:
CD*r/2 =AC*AD/2  

Po podstawieniu (***) i podzieleniu obustronnie przez (AC*AD*r/2) mamy:
 sqrt(AC^-2 + AD^-2)  =1/r  

Teraz po podstawieniu (*) i (**)  , oraz pomnożeniu obustronnie przez R
otrzymamy końcowy wzór :

R/r=Sqrt((cos(alfa))^2+(ctg(Pi/n))^2)
WM


--
Wysłano z serwisu Usenet w portalu Gazeta.pl -http://www.gazeta.pl/usenet/

• Strona Główna
• pole namiotowe wakacje mapa
• pole widzenia badanie Warszawa
• Pole Autokamping nad morzem
• Pole biwakowe Sarbinowo
• pole elektrostatyczne wyjaśnienie
• pole magnetyczne testy
• pole namiotowe Grecja
• Pole namiotowe Mielno
• Pole namiotowe Morze
• pole namiotowe - w Bieszczadach
• Polityka Zagraniczna Piastów
• AZJA MAPA POLITYCZNA
• Polityka walutowa rządu
• Polityka równych szans UE
• POLITYKA SPOłeczna UW 372 :)))))))))))))))))))))
• CZY KTOŚ NA POLITOLOGIE NA WSB W CHORZOWIE??
• doktryna polityczna PSL
• Parodie polityczne
• datendurchsatz ide-platte
• adbuxwork